Question

函數(shù)f(x)=ax³-2bx²+cx+4d (a,b,c,d∈R)的圖象關(guān)于原點對稱，且x=1時，f(x)取極小值為-.

（1）求a,b,c,d的值；

（2）證明：當(dāng)x∈［-1，1］時，圖象上不存在兩點使得過此兩點處的切線互相垂直；

（3）若x₁,x₂∈［-1，1］時，求證：|f(x₁)-f(x₂)|≤.

Answer 1

（1）a=,c=-1，b=0，d=0（2）證明略（3）證明略

解析:

（1）解  ∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，

∴對任意實數(shù)x有f(-x)=-f(x),

∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d,

即bx²-2d=0恒成立.

∴b=0，d=0,∴f（x）=ax³+cx,f′(x)=3ax²+c.

∵x=1時，f(x)取極小值-,

∴3a+c=0,a+c=-.解得a=,c=-1.

（2）證明  假設(shè)圖象上存在兩點A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),使得過此兩點處的切線互相垂直，則由f′(x)=x²-1,知兩點處的切線斜率分別為k₁=x-1,k₂=x-1,且(x-1)·(x-1)=-1.（*）

∵x₁,x₂∈［-1，1］，∴x-1≤0，x-1≤0，

∴（x-1）·（x-1）≥0.這與(*)式相矛盾，故假設(shè)不成立.

∴圖象上不存在符合條件的兩點.

（3）證明  令f′(x)=x²-1=0,則x=±1.

∴當(dāng)x∈（-∞,-1）或x∈(1,+∞)時，f′(x)＞0;

x∈(-1,1)時f′(x)＜0.

∴f(x)在［-1，1］上是減函數(shù)，且f(x)_max=f(-1)=,

f(x)_min=f(1)=-.

∴在［-1，1］上，|f(x)|≤,∴當(dāng)x₁,x₂∈［-1，1］時，

|f(x₁)-f(x₂)|≤|f(x₁)|+|f(x₂)|≤+=.