Question

若函數(shù)f(x)=(a-

1

ex-1

)sinx是偶函數(shù)，則常數(shù)a等于

-

1

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的乘法法則，可以得出g(x)=a-

1

ex-1

的奇偶性．因為函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)，f（x）=g（x）sinx是偶函數(shù)，故g（x）=a-

1

e x-1

也是奇函數(shù)，再用用特殊值求解，g（-1）=-g（1）即可求出常數(shù)a的值．

解答：解：根據(jù)題意，設f（x）=g（x）sinx，其中g(x)=a-

1

ex-1

∵f（-x）=g（-x）sin（-x）=-g（-x）sinx=f（x）
∴g（-x）=-g（x），g（x）是一個奇函數(shù)，
再在上式中取x=1，得a-

1

e -1

+a-

1

e-1-1

=0
解之得a等于 -

1

2

．
故答案是-

1

2

．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的性質和應用，屬于基礎題．因為是填空題，所以不必用比較系數(shù)的繁瑣方法，而是取了一個特殊值，問題迎刃而解．