Question

【題目】已知橢圓C： 的左、右焦點(diǎn)為F1，F2，設(shè)點(diǎn)F1，F2與橢圓短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成斜邊長為4的直角三角形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)A，B，P為橢圓C上三點(diǎn)，滿足，記線段AB中點(diǎn)Q的軌跡為E，若直線l：y＝x＋1與軌跡E交于M，N兩點(diǎn)，求|MN|.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

（1）由題意可得，即可求出，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）方法一：設(shè)，利用向量，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，把直線的方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、韋達(dá)定理，利用弦長公式，即可求解；

方法二：設(shè)，根據(jù)題意和點(diǎn)在橢圓上，化簡整理可得，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，消去 線段的中點(diǎn)的軌跡方程，再設(shè)兩點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)弦長公式即可求出.

試題解析：

(1)由已知得2c＝4，b＝2，故c＝2，a＝2.

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.

(2)法一　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵＝＋，∴＝，故點(diǎn)P坐標(biāo)為.

由于點(diǎn)P在橢圓C上，

故有＋＝1，

＋＋＝1，

即＋＋＝1，即＋＝0.

令線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為Q(x，y)，則

因A，B在橢圓C上，故有

相加有＋＝2.

故＋＝2，

由于＋＝0，

故＋＝2，即Q點(diǎn)的軌跡E的方程為＋＝1.

聯(lián)立得3x2＋4x－2＝0.

設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)，

則x3＋x4＝－，

x3·x4＝－.

故|MN|＝|x3－x4|＝＝.

法二　設(shè)A(2cos α，2sin α)，B(2cos β，2sin β)，

∵＝＋，

∴＝，故點(diǎn)P坐標(biāo)為.

∵點(diǎn)P在橢圓上，

∴(3cos α＋4cos β)2＋(3sin α＋4sin β)2＝25，

∴cos αcos β＋sin αsin β＝0，∴cos(α－β)＝0，

∴α－β＝，

∴B(2sin α，－2cos α)，

∴AB中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(cos α＋sin α，sin α－cos α)，

設(shè)Q的點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，

∴x＝cos α＋sin α，y＝sin α－cos α，

∴＝cos2α＋2cos αsin α＋sin2α＝1＋2cos αsin α，

y2＝cos2α－2cos αsin α＋sin2α＝1－2cos αsin α，

∴＋y2＝2，

即線段AB中點(diǎn)Q的軌跡為E的方程為＋＝1.

設(shè)M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，

由消y，

整理得3x2＋4x－2＝0，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，

∴|MN|＝|x1－x2|＝×＝.