Question

已知橢圓C的兩個焦點是(0，-)和(0，)，并且經(jīng)過點，拋物線E的頂點在坐標原點，焦點F恰好是橢圓C的右頂點．

（Ⅰ）求橢圓C和拋物線E的標準方程；

（Ⅱ）過點F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l1、l2，l1交拋物線E于點A、B，l2交拋物線E于點G、H，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（I）橢圓C的標準方程為；拋物線E的標準方程為；（Ⅱ）最小值為16．

【解析】

試題分析：（I）由題意得c=，，從而=1，橢圓C的標準方程為．該橢圓右頂點的坐標為(1，0)，即拋物線的焦點為(1，0)，所以，拋物線E的標準方程為．（Ⅱ）設(shè)l1的方程：，l2的方程，，，，.注意，且它們交于點，所以可將作如下變形： ==||·||+||·||，這樣先將||·||+||·||用表示出來，再利用韋達定理用表示，從而求得其最小值.

試題解析：（I）設(shè)橢圓的標準方程為(a>b>0)，焦距為2c，

則由題意得c=，，

∴a=2，=1，

∴橢圓C的標準方程為． 4分

∴右頂點F的坐標為(1，0)．

設(shè)拋物線E的標準方程為，

∴，

∴拋物線E的標準方程為． 6分

（Ⅱ）設(shè)l1的方程：，l2的方程，

，，，，

由 消去y得：，

∴ x1+x2=2+，x1x2=1．

由消去y得：x2-(4k2+2)x+1=0，

∴x3+x4=4k2+2，x3x4=1， 9分

∴

=

=||·||+||·||

=|x1+1|·|x2+1|+|x3+1|·|x4+1|

=(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1)

=8+

≥8+

=16．

當且僅當即k=±1時，有最小值16． 13分

考點：1、橢圓與拋物線；2、直線與圓錐曲線.