Question

橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)直線(xiàn)與橢圓M交于A、C兩點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓M交于B、D兩點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形
（1）求橢圓M的方程；
（2）求證：平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于原點(diǎn)O；
（3）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD的面積的最小值

Answer 1

（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）最小值為

解析試題分析：（1）依題意有，再加上，解此方程組即可得的值，從而得橢圓 的方程（2）由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD的中點(diǎn)重合
利用（1）所得橢圓方程，聯(lián)立方程組消去得：，顯然點(diǎn)A、C的橫坐標(biāo)是這個(gè)方程的兩個(gè)根，由此可得線(xiàn)段的中點(diǎn)為 同理可得線(xiàn)段的中點(diǎn)為，由于中點(diǎn)重合，所以，解得：或(舍)這說(shuō)明和都過(guò)原點(diǎn)即相交于原點(diǎn)（3）由于對(duì)角線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)且該四邊形為菱形，所以其面積為由方程組易得點(diǎn)A的坐標(biāo)（用表示），從而得（用表示）；同理可得（由于，故仍可用表示）這樣就可將表示為的函數(shù)，從而求得其最小值
試題解析：（1）依題意有，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/eb/3/jtsbh3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以得
故橢圓的方程為                                    3分
（2）依題意，點(diǎn)滿(mǎn)足
所以是方程的兩個(gè)根
得
所以線(xiàn)段的中點(diǎn)為 
同理，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)為         5分
因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4f/4/640rz.png" style="vertical-align:middle;" />是平行四邊形，所以
解得，或(舍)
即平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)和相交于原點(diǎn)                7分
（3）點(diǎn)滿(mǎn)足
所以是方程的兩個(gè)根，即
故
同理，                     9分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c1/5/xyct82.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，其中
從而菱形的面積