Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)．已知△為等腰三角形．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程．

 

 

Answer 1

【答案】

(1)  ; (2) .

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出焦點(diǎn)，由條件為等腰三角形，分析出，代入兩點(diǎn)間距離公式，利用消去，得a、c的關(guān)系，得出e的值；（2）由得，，推出橢圓方程，由即，，得，得，與橢圓：聯(lián)立得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再表示，代入中，整理得點(diǎn)的軌跡方程.

試題解析：（1）設(shè)，

由題意,可得,即，              2分

整理得，得 (舍)或，所以.            4分 

（2）由（1）知，,可得橢圓方程為.

  直線方程為                            5分

兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組,消去y并整理得  6分

解得得方程組的解,           8分

不妨設(shè),,設(shè)的坐標(biāo)為

則,，                10分

由得.

于是,          11分

由得，

化簡(jiǎn)得，                        13分

將代入得，

由得.因此,點(diǎn)的軌跡方程是.   14分

考點(diǎn)：1.兩點(diǎn)間距離公式；2.斜率公式.