Question

【題目】已知直線、與曲線分別相交于點(diǎn)、和、，我們將四邊形稱(chēng)為曲線的內(nèi)接四邊形．

（1）若直線和將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧，求的值；

（2）若直線，與圓分別交于點(diǎn)、和、，求證：四邊形為正方形；

（3）求證：橢圓的內(nèi)接正方形有且只有一個(gè)，并求該內(nèi)接正方形的面積．

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見(jiàn)解析 （3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)直線分圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧，得到，利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可．

（2）根據(jù)直線與圓相交的位置關(guān)系，利用消元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行證明即可；

（3）根據(jù)橢圓內(nèi)接正方形的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行證明即可.

解：（1）由于直線和將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧，

所以，

在等腰直角中，圓心到直線的距離為，∴，

同理，∴；

（2）由題知，直線，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閳A的圓心為原點(diǎn)，

所以，故四邊形為平行四邊形．易知，點(diǎn)在對(duì)角線，上．

聯(lián)立解得，由，得

，

所以，

于是，因?yàn)?/span>，所以四邊形ABCD為正方形．

（3）證明：假設(shè)橢圓存在內(nèi)接正方形，其四個(gè)頂點(diǎn)為，，，．

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線、的方程為，，因?yàn)?/span>，，，在橢圓上，

所以，，，．

由四邊形為正方形，易知，，，直線、的方程為，，

正方形的面積．

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線、的方程分別為，，

顯然．設(shè)，，，，

聯(lián)立得，所以，

代人，得，

同理可得，

因?yàn)?/span>為正方形，所以解得

因?yàn)?/span>，所以，

因此，直線與直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以原點(diǎn)為正方形的中心（由知，四邊形為平行四邊形

由為正方形知，

即

代入得，解得（注：此時(shí)四邊形為菱形）

由為正方形知，

因?yàn)橹本�與直線的距離為，，故

但，

由得，

∴即，與矛盾．

所以，這與矛盾．

即當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，橢圓內(nèi)不存在正方形．

綜上所述，橢圓的內(nèi)接正方形有且只有一個(gè)，且其面積為．