Question

9．A為直線(xiàn)3x+4y=10上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作圓x²+y²=1的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為P，Q，則四邊形OPAQ的面積的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由題意可得當(dāng)點(diǎn)A與圓心的距離最小時(shí)，切線(xiàn)長(zhǎng)PA、PB最小，此時(shí)四邊形OPAQ的面積最小，由距離公式和面積公式求解可得．

解答 解：∵圓x²+y²=1的圓心為C（0，0），半徑r=1，
當(dāng)點(diǎn)A與圓心的距離最小時(shí)，切線(xiàn)長(zhǎng)PA、PB最小，
此時(shí)四邊形OPAQ的面積最小，
∴圓心到直線(xiàn)3x+4y=10的距離d=$\frac{10}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=2，
∴|PA|=|PB|=$\sqrt{lfxu4vy^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴四邊形OPAQ的面積S=2×$\frac{1}{2}$|PA|r=$\sqrt{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線(xiàn)方程，得出當(dāng)點(diǎn)A與圓心的距離最小時(shí)OPAQ的面積最小是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．