Question

拋物線y²=2px（p＞0）與雙曲線x²-y²=1相交的一個交點為M，雙曲線的兩焦點分別為F₁、F₂，若MF1•MF2=

5

4

，
（I）證明：M點在F₁、F₂為焦點的橢圓上；
（II）求拋物線方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)M（m，n）（m＞0），因M點在雙曲線x²-y²=1，根據(jù)雙曲線的焦半徑公式得：MF₁=

2

m+1，MF₂=

2

m-1，結(jié)合MF1•MF2=

5

4

求得m的值，從而得出MF₁+MF₂=3=定值，最后由橢圓的定義得出結(jié)論即可；
（II）由（I）得M的坐標為：（

3 2

4

，±

2

4

）代入拋物線方程y²=2px（p＞0）得焦參數(shù)，最后寫出拋物線方程．

解答：解：（I）設(shè)M（m，n）（m＞0），因M點在雙曲線x²-y²=1，
根據(jù)雙曲線的焦半徑公式得：
MF₁=

2

m+1，MF₂=

2

m-1，
∵MF1•MF2=

5

4

∴（

2

m+1）（

2

m-1）=

5

4

，⇒m=

3 2

4

∴MF₁+MF₂=3=定值，即點M到F₁、F₂的距離之和為定值，且大于|F₁F₂|，
由橢圓的定義得：M點在F₁、F₂為焦點的橢圓上．
（II）由（I）得M的坐標為：（

3 2

4

，±

2

4

）
代入拋物線方程y²=2px（p＞0）得：2p=

2

12

∴拋物線方程是：y2=

2

12

x．

點評：本小題主要考查圓錐曲線的共同特征、橢圓的方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．