Question

已知點A（1，2）在矩陣M=[

a a 1 b

]（a，b，∈R）對應的變換作用下得到點A′（6，7）．
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）求矩陣M的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量．

Answer 1

考點：特征值與特征向量的計算,幾種特殊的矩陣變換

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法求矩陣M；
（Ⅱ）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，[

a a 1 b

]

1 2

=

6 7

，
∴

3a=6 1+2b=7

，∴

a=2 b=3

，
∴M=

2 2 1 3

；
（Ⅱ）M的特征多項式為f（λ）=（λ-1）（λ-4），
令f（λ）=0，可求得特征值為λ₁=1，λ₂=4，
設λ₁=1對應的一個特征向量為

α

=

x y

，
則由λ₁

α

=M

α

，得-x-2y=0
可令x=2，則y=-1，
所以矩陣M的一個特征值λ₁=1對應的一個特征向量為

α

=

2 -1

，
同理可得矩陣M的一個特征值λ₂=4對應的一個特征向量為

β

=

1 1

．

點評：本題主要考查了矩陣特征值與特征向量的計算等基礎知識，屬于基礎題．