Question

在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，ADC-900,AB=AD=PD=1.CD=2.

(I)求證：BC平面PBD：

(II)設(shè)E為側(cè)棱PC上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，，試確定的值，使得二面角

E-BD-P的大小為．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)已有垂直關(guān)系，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

從而計(jì)算，得到，

由⊥底面，得到,⊥平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面的一個(gè)法向量為

，通過(guò)假設(shè)平面的法向量為，建立方程組根據(jù)，建立方程，得解.

試題解析：（Ⅰ）證明：因?yàn)閭?cè)面⊥底面，⊥，所以⊥底面，所以⊥.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031604540053327851/SYS201403160500128613400401_DA.files/image024.png">＝，即⊥，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

所以

所以，所以

由⊥底面，可得,

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031604540053327851/SYS201403160500128613400401_DA.files/image026.png">，所以⊥平面.                   5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面的一個(gè)法向量為 

，且，，所以，又，所以，.                      7分

設(shè)平面的法向量為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031604540053327851/SYS201403160500128613400401_DA.files/image032.png">，

由，，

得，

令，則可得平面的一個(gè)法向量為

所以，                    10分

解得或，

又由題意知，故.                      12分

考點(diǎn)：直線與平面垂直，二面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用.