Question

過橢圓左焦點F，傾斜角為60°的直線交橢圓于A、B兩點，若|FA|=2|FB|，則橢圓的離心率為（　�。�

• A．

  2

  3

• B．

  2

  3

• C．

  1

  2

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：設(shè)橢圓的左準線為l，設(shè)A、B兩點在l上的射影分別為C、D，連接AC、BD，過點B作BG⊥AC利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，再結(jié)合直角△ABG中，∠BAG=60°，可求出邊之間的長度之比，可得離心率的值．

解答：解：如圖，設(shè)橢圓的左準線為l，過A點作AC⊥l于C，
過點B作BD⊥l于D，再過B點作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG=60°，所以AB=2AG，…①
由圓錐曲線統(tǒng)一定義得：e=

AF

AC

=

BF

BD

，
∵FA=2FB，
∴AC=2BD
直角梯形ABDC中，AG=AC-BD=

1

2

AC…②
①、②比較，可得AB=AC，
又∵AF=

2

3

AB
∴e=

AF

AC

=

AF

AB

=

2

3

故所求的離心率為

2

3

．
故選B．

點評：本題考查了圓錐曲線的統(tǒng)一定義的應用，結(jié)合解含有60°的直角三角形，求橢圓的離心率，屬于幾何方法，運算量小，方便快捷．