Question

8．設函數(shù)f（x）=x²+ax+b，a，b∈R．
（1）若a+b=3，當x∈[1，2]時，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)對（a，b），使得不等式|f（x）|＞2在區(qū)間[1，5]上無解，若存在，試求出所有滿足條件的實數(shù)對（a，b）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分離參數(shù)得到$a≥-\frac{{{x^2}+3}}{x-1}$，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)得到a的范圍即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）≥0，即a（x-1）≥-（x²+3）．
當x=1時，恒成立；
當x∈（1，2]時，得$a≥-\frac{{{x^2}+3}}{x-1}$，
令t=x-1∈（0，1]，
$-\frac{{{x^2}+3}}{x-1}=-（{t+\frac{4}{t}}）-2$≤-7
綜上：有a≥-7．
（2）要使|f（x）|＞2在區(qū)間[1，5]上無解，
必須滿足$\left\{\begin{array}{l}-2≤f（1）≤2\\-2≤f（3）≤2\\-2≤f（5）≤2\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}-2≤1+a+b≤2①\\-2≤9+3a+b≤2②\\-2≤25+5a+b≤2③\end{array}\right.$
由$\left\{\begin{array}{l}-2≤-1-a-b≤2①\\-2≤9+3a+b≤2②\end{array}\right.$，
相加得：-4≤8+2a≤4⇒-6≤a≤2
再由$\left\{\begin{array}{l}-2≤-9-3a-b≤2②\\-2≤25+5a+b≤2③\end{array}\right.$，
相加得：-4≤16+2a≤4⇒-10≤a≤-6
可以解得：a=-6，代入不等式組，得到b=7．
檢驗a=-6，時，|f（x）|≤2在區(qū)間[1，5]上恒成立
所以滿足題意的是實數(shù)對（a，b）只有一對：（-6，7）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．