Question

已知拋物線C：y²=4x，一動橢圓C₁的左焦點及左準(zhǔn)線與拋物線C的焦點F及準(zhǔn)線l分別重合.

(1)點P在橢圓C₁的短軸的一個端點B與焦點F的連線上，且，求點P的軌跡C₂的方程；

(2)若直線x+y+m=0與點P的軌跡C₂交于兩點M、N，問是否存在實數(shù)m，使OM⊥ON成立.若存在，求出m的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

解：(1)由拋物線方程y²=4x得焦點F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x=-1，設(shè)橢圓中心為O′(t,0)，則其半焦距為c=t-1，又左準(zhǔn)線方程為x=-1，則t+1=，∴a²=(t+1)c=t²-1，

∴b²=a²-c²=(t²-1)-(t-1)²=2t-2.可取橢圓短軸上一個端點B(t,)，

其中t＞1,設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y),,

∴λ==2.

∴

即

消去t得y²=(x-1),x＞1，即為點P的軌跡C₂的方程.                             

(2)由3y²+2y+2m+2=0.此方程應(yīng)有兩個不相等的非零實根，

則解得

即m＜且m≠-1.                                                           

設(shè)M(x₁,y₁),N(x₂,y₂).假設(shè)存在實數(shù)m，使,則x₁x₂+y₁y₂=0,

又x₁=-y₁-m,x₂=-y₂-m，則有2y₁y₂+m(y₁+y₂)+m²=0.

而y₁+y₂=,y₁y₂=，代入上式得：m+m²=0,即3m²+2m+4=0,

此方程無實數(shù)解，故不存在m使.