Question

已知二次函數(shù)f（x）=x2-ax+a（x∈R）同時滿足：（1）不等式f（x）≤0 的解集有且只有一個元素；（2）在定義域內(nèi)存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立。設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=f（n）， （1）求數(shù)列{an}的通項公式； （2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項和； （3）設(shè)各項均不為零的數(shù)列{cn}中，所有滿足cici+1＜0的正整數(shù)的個數(shù)稱為這個數(shù)列{cn}的變號數(shù)。另（n為正整數(shù)），求數(shù)列{cn}的變號數(shù)。

Answer 1

解：（1）∵不等式f（x）≤0 的解集有且只有一個元素， ∴， ∵在定義域內(nèi)，使得不等式成立， ∴函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是遞減函數(shù)， 當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）=x2在（0，+∞）上遞增， 故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立， 當(dāng)a=4時，函數(shù)f（x）=x2-4x+4在（0，2）上遞減， 故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立； 綜上，得， 當(dāng)n=1時，； 當(dāng)n≥2時，； ∴； （2）∵，  ① ∴，  ② ①－②得： ， ∴； （3）由題設(shè)， ∵n≥3時，， ∴n≥3時，數(shù)列{cn}遞增， ∵，由，可知， 即n≥3時，有且只有1個變號數(shù)， 又∵，即， ∴此處變號數(shù)有2個， 數(shù)列{cn}共有3個變號數(shù)，即變號數(shù)為3。