Question

5．若曲線C₁：y=ax²（a＞0）與曲線C₂：y=e^x在（0，+∞）上存在公共點，則a的取值范圍為[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得，ax²=e^x有解，運用參數(shù)分離，再令$f（x）=\frac{e^x}{x^2}$，求出導數(shù)，求得單調區(qū)間、極值和最值，即可得到所求范圍．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)y=ax²（a＞0）與函數(shù)y=e^x在（0，+∞）上有公共點，
令ax²=e^x得：$a=\frac{e^x}{x^2}$，
設$f（x）=\frac{e^x}{x^2}$則$f'（x）=\frac{{{x^2}{e^x}-2x{e^x}}}{x^2}$，
由f'（x）=0得：x=2，
當0＜x＜2時，f'（x）＜0，函數(shù)$f（x）=\frac{e^x}{x^2}$在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)，
當x＞2時，f'（x）＞0，函數(shù)$f（x）=\frac{e^x}{x^2}$在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)，
所以當x=2時，函數(shù)$f（x）=\frac{e^x}{x^2}$在（0，+∞）上有最小值$f（2）=\frac{e^2}{4}$，
所以$a≥\frac{e^2}{4}$．
故答案為：$[{\frac{e^2}{4}，+∞}）$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間和極值、最值，考查函數(shù)方程的轉化思想的運用，屬于中檔題．