Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在x=1時取得極值，求實數(shù)a的值；

（2）當0＜a＜1時，求零點的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）1；（2）兩個

【解析】

(1) 函數(shù)在x=1時取得極值，得，解得，時，，求單調(diào)區(qū)間，驗證在x=1時取得極值 （2），由，得減區(qū)間為，增區(qū)間為，其極小值為，，函數(shù)在上有且僅有一個零點，根據(jù)，，

令，得，又因為，所以，所以當時，，根據(jù)零點存在定理，函數(shù)在上有且僅有一個零點.

解：(1)定義域為，，

由已知，得，解得，

當時，，

所以，

所以減區(qū)間為，增區(qū)間為，

所以函數(shù)在時取得極小值，其極小值為，符合題意，所以

(2)令，由，得

所以，，

所以減區(qū)間為，增區(qū)間為，

所以函數(shù)在時取得極小值，其極小值為，

因為，所以，，

所以，所以，

因為，

根據(jù)零點存在定理，函數(shù)在上有且僅有一個零點，

因為，，

令，得，又因為，所以，

所以當時，，

根據(jù)零點存在定理，函數(shù)在上有且僅有一個零點，

所以，當時，有兩個零點.