Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，若關于x的不等式f²（x）+af（x）＞0恰有兩個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-$\frac{1+ln2}{2}$，-$\frac{1+ln3}{3}$）
• B． [$\frac{1+ln3}{3}$，$\frac{1+ln2}{2}$）
• C． （-$\frac{1+ln2}{2}$，-$\frac{1+ln3}{3}$]
• D． （-1，-$\frac{1+ln3}{3}$]

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，再由f²（x）+af（x）＞0求得f（x）的范圍，結合函數(shù)f（x）的單調(diào)性可得使不等式f²（x）+af（x）＞0恰有兩個整數(shù)解的實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f′（x）=$\frac{1-（1+lnx）}{{x}^{2}}=-\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
當a＞0時，f²（x）+af（x）＞0?f（x）＜-a或f（x）＞0，此時不等式f²（x）+af（x）＞0有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意；
當a=0時，f²（x）+af（x）＞0?f（x）≠0，此時不等式f²（x）+af（x）＞0有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意；
當a＜0時，f²（x）+af（x）＞0?f（x）＜0或f（x）＞-a，要使不等式f²（x）+af（x）＞0恰有兩個整數(shù)解，必須滿足
f（3）≤-a＜f（2），得$-\frac{1+ln2}{2}$＜a≤$-\frac{1+ln3}{3}$，
故選：C．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，屬中檔題．