Question

6．設(shè)f（x）的定義域為D，f（x）滿足下面兩個條件，則稱f（x）為閉函數(shù)．
①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]．
如果f（x）=$\sqrt{2x+1}$+k為閉函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用新定義結(jié)合函數(shù)的圖象，函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的值域，滿足想的一樣求出k的范圍．

解答 解：∵k是常數(shù)，函數(shù)$y=\sqrt{2x+1}$是定義在$[{-\frac{1}{2}，+∞}）$上的增函數(shù)，
∴函數(shù)$f（x）=\sqrt{2x+1}+k$是$[{-\frac{1}{2}，+∞}）$上的增函數(shù)，…（2分）
因此，若函數(shù)$f（x）=\sqrt{2x+1}+k$為閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]⊆D，
使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]．
可得函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x相交于點（a，a）和（b，b）（如圖所示）

∴$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2a+1}+k=a\\ \sqrt{2b+1}+k=b\end{array}\right.$，可得方程$k=x-\sqrt{2x+1}$在$[{-\frac{1}{2}，+∞}）$上有兩個不相等的實數(shù)根a、b…（5分）
令$t=\sqrt{2x+1}$，得$x=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，設(shè)函數(shù)$F（x）=x-\sqrt{2x+1}=g（t）$，（t≥0）
即$g（t）=\frac{1}{2}{t^2}-t-\frac{1}{2}$，
在t∈[0，1]時，g（t）為減函數(shù)，$-1≤g（t）≤-\frac{1}{2}$；
在t∈[1，+∞）時，g（t）為增函數(shù)，∴g（t）≥-1；
∴當(dāng)$-1≤k≤-\frac{1}{2}$時，有兩個不相等的t值使g（t）=k成立，
相應(yīng)地有兩個不相等的實數(shù)根a、b滿足方程$k=x-\sqrt{2x+1}$，
當(dāng)$f（x）=\sqrt{2x+1}+k$為閉函數(shù)時，實數(shù)k的取值范圍是：$-1≤k≤-\frac{1}{2}$．…（10分）

點評 本題考查函數(shù)的定義域、值域，函數(shù)的單調(diào)性以及新定義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．