Question

設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為,過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn).若·+·=8,求k的值.

Answer 1

解:(1)設(shè)F(-c,0),由=,知a=c.

過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為x=-c,

代入橢圓方程有+=1,

解得y=±,

于是=,解得b=,

又a2-c2=b2,從而a=,c=1,

所以橢圓的方程為+=1.

(2)設(shè)點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),

由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1).

由方程組消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,

則x1+x2=-,x1x2=.

因?yàn)锳(-,0),B(,0),

所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)

=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+.

由已知得6+=8,解得k=±.