Question

已知MA，MB是曲線C：y=

x2

4

的兩條切線，其中A，B是切點，
（I）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數(shù)列；
（II）若直線AB過曲線C的焦點F，求△MAB面積的最小值．

Answer 1

分析：（I）對曲線C，進行求導，求出直線MA的方程和直線MB的方程，只要證明點M的中點橫坐標為A、B橫坐標的一般即可；
（II）將直線AB與曲線C聯(lián)立，求出AB的長，得M的中點坐標，再根據(jù)點到直線的距離，求出點M到直線AB的距離，求出△MAB面積關(guān)于k的表達式；

解答：解：（I）證明：y′=

1

2

x，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
直線MA的方程為y-y₁=

1

2

x₁（x-x₁）①，直線MB的方程為y-y₂=

1

2

x₂（x-x₂）②，
①-②得：點M的橫坐標x=

x1+x2

2

，所以點A，M，B的橫坐標成等比數(shù)列，
（II）焦點F的坐標為（0，1），顯然直線AB的斜率是存在的；
設(shè)直線AB的方程為y=kx+1
將直線AB的方程代入y=

1

4

x²得：x²-4kx-4=0（△＞0）
|AB|=4（1+k²），且x_M=2k，又由①②得：y_M=

1

4

x₁x₂=-1，
從而點M到直線AB的距離d=2

1+k2

，
S_△MAB=4(1+k2)

3

2

≥4  當且僅當k=0時取等號；
故△MAB面積的最小值為4；

點評：第一問根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，比較簡單，第二問難度比較大，需要聯(lián)立方程，計算量比較大，同學們要認真進行計算，此題難度中等；