Question

12．已知函數f（x）=|x-1|-2|x+1|的最大值為k．
（1）求k的值；
（2）若$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=k（{m＞0，n＞0}）$，求證：m+2n≥2．

Answer 1

分析 （1）由已知可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x≥1}\\{-3x-1，-1＜x＜1}\\{x+3，x≤-1}\end{array}\right.$，利用一次函數的單調性即可得出．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=2，（m，n＞0）．可得m+2n=$\frac{1}{2}$（m+2n）$（\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}）$=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{2n}$），再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 （1）解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x≥1}\\{-3x-1，-1＜x＜1}\\{x+3，x≤-1}\end{array}\right.$，
∴f（x）的最大值為f（-1）=2，因此k=2．
（2）證明：由（1）可得：$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=2，（m，n＞0）．
∴m+2n=$\frac{1}{2}$（m+2n）$（\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}）$=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{2n}$）≥1+$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{m}{2n}}$=2，當且僅當m=2n=1時取等號．
∴m+2n≥2．

點評 本題考查了絕對值不等式的性質、基本不等式的性質、一次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．