Question

5．求函數(shù)y=x²+2x+3在[a，2+a]上的值域．

Answer 1

分析 結(jié)合二次函數(shù)的圖象及二次函數(shù)的性質(zhì)，按對稱軸與區(qū)間分4種情況討論求函數(shù)的值域．

解答 解：函數(shù)y=x²+2x+3的圖象的對稱軸為x=-1，開口向上；
①當(dāng)2+a≤-1，即a≤-3時，
y=x²+2x+3在[a，2+a]上單調(diào)遞減，
故（a+2）²+2（a+2）+3≤y≤a²+2a+3，
即a²+6a+11≤y≤a²+2a+3，
即函數(shù)y=x²+2x+3在[a，2+a]上的值域為[a²+6a+11，a²+2a+3]；
②當(dāng)a+1≤-1＜2+a，即-3＜a≤-2時，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)知，
（-1）²+2•（-1）+3≤y≤a²+2a+3，
即2≤y≤a²+2a+3，
即函數(shù)y=x²+2x+3在[a，2+a]上的值域為[2，a²+2a+3]；
③當(dāng)a≤-1＜a+1，即-2＜a≤-1時，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)知，
（-1）²+2•（-1）+3≤y≤a²+6a+11，
即2≤y≤a²+2a+3，
即函數(shù)y=x²+2x+3在[a，2+a]上的值域為[2，a²+6a+11]；
④當(dāng)a＞-1時，
y=x²+2x+3在[a，2+a]上單調(diào)遞增，
故a²+2a+3≤y≤（a+2）²+2（a+2）+3，
即a²+2a+3≤y≤a²+6a+11，
即函數(shù)y=x²+2x+3在[a，2+a]上的值域為[a²+2a+3，a²+6a+11]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的值域的求法及分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．