Question

拋物線y=x²的動弦為EF，分別過E，F(xiàn)作其切線，兩切線交于C點，已知

FC

=

CP

，

CE

=

EQ

．
（1）求證：直線PQ也與拋物線相切．
（2）若PQ切拋物線于G點，求

S△GEF

S△PCQ

的值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設E(x1，

x

2 1

)，F(xiàn)(x2，

x

2 2

)．y′=2x．可得切線EC與切線FC的方程．聯(lián)立解得：C(

x1+x2

2

，x1x2)．
由于

FC

=

CP

，

CE

=

EQ

．可得P(x1，2x1x2-

x

2 2

)，Q(

3x1-x2

2

，2

x

2 1

-x1x2)．可得直線PQ的方程，與拋物線方程聯(lián)立，化為關于x的一元二次方程，只要證明△=0即可．
（2）由于S_△PCQ=2S_△PEC=S_△PEF，可得

S△GEF

S△PCQ

=

S△GEF

S△PEF

=

hG

hP

．直線EF的方程為：y-

x

2 1

=（x₁+x₂）（x-x₁），利用點到直線的距離公式計算出點P、G到直線EF的距離之比=

hG

hP

即可．

解答： （1）證明：設E(x1，

x

2 1

)，F(xiàn)(x2，

x

2 2

)．
y′=2x．
∴切線EC：y-

x

2 1

=2x1(x-x1)，
切線FC：y-

x

2 2

=2x₂（x-x₂）．
聯(lián)立解得：C(

x1+x2

2

，x1x2)．
∵

FC

=

CP

，

CE

=

EQ

．
∴P(x1，2x1x2-

x

2 2

)，Q(

3x1-x2

2

，2

x

2 1

-x1x2)．
k_PQ=4x₁-2x₂．
∴直線PQ的方程為：y-(2x1x2-

x

2 2

)=（4x₁-2x₂）（x-x₁）．
化為y=2(2x1-x2)x-(2x1-x2)2．
聯(lián)立

y=2(2x1-x2)x-(2x1-x2)2 y=x2

．
化為x2-2(2x1-x2)x+(2x1-x2)2=0，
∴△=4(2x1-x2)2-4(2x1-x2)2=0，
因此直線PQ是拋物線的切線．
（2）解：∵S_△PCQ=2S_△PEC=S_△PEF，
∴

S△GEF

S△PCQ

=

S△GEF

S△PEF

．
∵k_EF=

x 2 1 - x 2 2

x1-x2

=x₁+x₂．
∴直線EF的方程為：y-

x

2 1

=（x₁+x₂）（x-x₁），
化為（x₁+x₂）x-y-x₁x₂=0．
∴點P、G到直線EF的距離之比=

hG

hP

=

|(2x1-x2)(x1+x2)-(2x1-x2)2-x1x2|

|x1(x1+x2)-(2x1x2- x 2 2 )-x1x2|

=2．
∴

S△GEF

S△PCQ

=

S△GEF

S△PEF

=

hG

hP

=2．

點評：本題考查了拋物線的切線、直線的方程、中點的向量形式、中點坐標公式、三角形的面積之比、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．