Question

如圖所示，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，2），過(guò)點(diǎn)C的直線CA與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)C且與直線CA垂直的

直線CB與y軸交于點(diǎn)B.設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

x+y-2=0

解析:

方法一（參數(shù)法）：設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y）.

若直線CA與x軸垂直，則可得到M的坐標(biāo)為（1，1）.

若直線CA不與x軸垂直，設(shè)直線CA的斜率為k，則直線CB的斜率為-，故直線CA方程為：y=k(x-2)+2,

令y=0得x=2-,則A點(diǎn)坐標(biāo)為.

CB的方程為：y=-(x-2)+2,令x=0,得y=2+，

則B點(diǎn)坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M點(diǎn)的坐標(biāo)為

                                           ①

消去參數(shù)k得到x+y-2=0 (x≠1),

點(diǎn)M（1，1）在直線x+y-2=0上，

綜上所述，所求軌跡方程為x+y-2=0.

方法二 （直接法）設(shè)M（x，y），依題意A點(diǎn)坐標(biāo)為（2x,0）,B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2y）.

∵|MA|=|MC|，∴化簡(jiǎn)得x+y-2=0.

方法三 （定義法）依題意|MA|=|MC|=|MO|,

即:|MC|=|MO|,所以動(dòng)點(diǎn)M是線段OC的中垂線，故由點(diǎn)斜式方程得到：x+y-2=0.