Question

【題目】如圖，P為⊙O外一點，PC交⊙O于F，C，PA切⊙O于A，B為線段PA的中點，BC交⊙O于D，線段PD的延長線與⊙O交于E，連接FE．求證：
（Ⅰ）△PBD∽△CBP；
（Ⅱ）AP∥FE．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）如圖，∵PA切⊙O于A，∴BA2=BDBC，
∵B為線段PA的中點，∴PB=BA，
∴PB2=BDBC，即，
∵∠PBD=∠CBP，∴△PBD∽△CBP．
（Ⅱ）∵△PBD∽△CBP，∴∠BPD=∠C，
∵∠C=∠E，∴∠BPD=∠E，
∴AP∥FE．

【解析】（Ⅰ）由切割線定理得BA2=BDBC，從而PB2=BDBC，由此能證明△PBD∽△CBP．
（Ⅱ）由三角形相似得∠BPD=∠C，從而∠BPD=∠E，由此能證明AP∥FE．