Question

5．已知[x）表示大于x的最小整數(shù)，例如[3）=4，[-2，-1）=-1．下列命題中真命題為①③④．（寫出所有真命題的序號(hào)）
①函數(shù)f（x）=[x）-x的值域是（0，1]；
②若{a_n}為等差數(shù)列，則[a_n）也是等差數(shù)列；
③函數(shù)f（x）=[x）-x是周期函數(shù)；
④若x∈（1，4），則方程[x）-x=$\frac{1}{2}$有3個(gè)根．

Answer 1

分析 ①由于函數(shù)f（x）=[x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{（0，1），x∈（n，n+1）}\\{1，x∈\{n\}}\end{array}\right.$，即可判斷出真假；
②是假命題，例如${a}_{n}=\frac{1}{3}n$，則[a_n）為1，1，2，2，2，3，…，不是等差數(shù)列；
③由于f（x+1）=[x）+1-（x+1）=[x）-x=f（x），因此函數(shù)f（x）=[x）-x是周期為1的周期函數(shù)，；
④如圖所示，即可判斷出真假．

解答 解：①∵函數(shù)f（x）=[x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{（0，1），x∈（n，n+1）}\\{1，x∈\{n\}}\end{array}\right.$，因此f（x）的值域是（0，1]，是真命題；
②若{a_n}為等差數(shù)列，則[a_n）也是等差數(shù)列，是假命題，例如${a}_{n}=\frac{1}{3}n$，則[a_n）為1，1，2，2，2，3，…，不是等差數(shù)列；
③∵f（x+1）=[x+1）-（x+1）=[x）+1-（x+1）=[x）-x=f（x），因此函數(shù)f（x）=[x）-x是周期為1的周期函數(shù)，是真命題；
④若x∈（1，4），則方程[x）-x=$\frac{1}{2}$有3個(gè)根，如圖所示，是真命題．
綜上可得：真命題為①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義函數(shù)、函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．