Question

【題目】已知橢圓的離心率為，是橢圓上一點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是直線上任意一點(diǎn).證明：直線的斜率成等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】分析：（1）由橢圓的離心率為，以及點(diǎn)M在橢圓上，結(jié)合a，b，c關(guān)系列出方程組求解即可；

（2）分過橢圓右焦點(diǎn)的直線斜率不存在和存在兩種情況，進(jìn)行整理即可.

詳解：（1）；

(2)因?yàn)橛医裹c(diǎn),

當(dāng)直線的斜率不存在時其方程為，

因此，設(shè)，則，

所以且，

所以，，

因此，直線和的斜率是成等差數(shù)列.

當(dāng)直線的斜率存在時其方程設(shè)為，

由得，，

所以，

因此，，

，

，

，

所以，，

又因?yàn)?/span>，

所以有,

因此，直線和的斜率是成等差數(shù)列，

綜上可知直線和的斜率是成等差數(shù)列.