Question

10．二手車經(jīng)銷商小王對其所經(jīng)營的某一型號二手汽車的使用年數(shù)x（0＜x≤10）與銷售價格y（單位：萬元/輛）進行整理，得到如表的對應數(shù)據(jù)：

使用年數(shù)	2	4	6	8	10
售價	16	13	9.5	7	4.5

（1）試求y關于x的回歸直線方程；（參考公式：$\hat b$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a$=y-$\hat b\overline x$）
（2）已知每輛該型號汽車的收購價格為w=0.01x³-0.09x²-1.45x+17.2萬元，根據(jù)（1）中所求的回歸方程，預測x為何值時，小王銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤L（x）最大？（利潤=售價-收購價）

Answer 1

分析 （1）由表中數(shù)據(jù)計算b，a，即可寫出回歸直線方程；
（2）寫出利潤函數(shù)L（x）=y-w，利用導數(shù)求出x=6時L（x）取得最大值．

解答 解：（1）由已知：$\overline x=6$，$\overline y=10$，…（2分）
$\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}=242$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=220$，$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}-5\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}-5{{\overline x}^2}}}=-1.45$，…（4分）
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=18.7$
所求線性回歸直線方程為$\hat y=-1.45x+18.7$…（6分）
（2）L（x）=y-w=-1.45x+18.7-（0.01x³-0.09x²-1.45x+17.2）=-0.01x³+0.09x²+1.5（0＜x≤10）…（8分）
L′（x）=-0.03x²+0.18x=-0.03x（x-6）…（9分）
x∈（0，6）時，L′（x）＞0，L（x）單調(diào)遞增，x∈（6，10]時，L′（x）＜0，L（x）單調(diào)遞減…（11分）
所以預測x=6時，銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤L（x）最大．…（12分）

點評 本題考查了回歸直線方程的求法與應用問題，也考查了利用導數(shù)求最值，屬于中檔題．