Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，且拋物線的準(zhǔn)線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求面積的最大值。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析: （1）設(shè)橢圓的焦半距為，拋物線的準(zhǔn)線為，

，，代入橢圓的方程即可得答案．

（2）分析易得直線不能與軸垂直，設(shè)的方程為，聯(lián)立與橢圓的方程得，計(jì)算分析可得直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系分析可得的值，由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算O到l的距離，進(jìn)而分析可得，由基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．

試題解析:（1）設(shè)橢圓的焦半距為，拋物線的準(zhǔn)線為，

，所以橢圓的方程是．

（2）由題意直線不能與軸垂直，否則將無法構(gòu)成三角形．

設(shè)其斜率為，那么直線的方程為．

聯(lián)立與橢圓的方程，消去，得．

．

設(shè)點(diǎn)得，

所以，

又到的距離

所以的面積．

令，那么，

，

因?yàn)?/span>是減函數(shù)

所以當(dāng)時(shí)， 所以△OMN面積的最大值是．