Question

(拓展深化)如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G，

(1)寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對；

(2)連接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的長．

 

Answer 1

(1) △AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM，證明見解析 (2)

【解析】

解　(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM.

以下證明：△AMF∽△BGM.

∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E

＝∠BMG，∠A＝∠B，

∴△AMF∽△BGM.

(2)當α＝45°時，

可得AC⊥BC且AC＝BC.

∵M為AB的中點，

∴AM＝BM＝2.

又∵△AMF∽△BGM，

∴＝

∴BG＝＝＝.

又AC＝BC＝4×sin 45°＝4，

∴CG＝4－＝.

∵CF＝4－3＝1，∴FG＝＝＝.