解：（1）依題意得，將雙曲線方程標(biāo)準(zhǔn)化為
=1，則c=1．
∵橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，∴設(shè)橢圓方程為
=1，∵橢圓過（
，0），
∴
=2，∴橢圓方程為
=1．
（2）依題意，設(shè)斜率為2的弦所在直線的方程為y=2x+b，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則
y=2x+b 且
=1得，9x
2+8xb+2b
2-2=0，∴x
1+x
2=-
．
即x=-
兩式消掉b得 y=-
x．
令△=0，64b
2-36（2b
2-2）=0，即b=±3，所以斜率為2且與橢圓相切的直線方程為y=2x±3
即當(dāng)x=±
時斜率為2的直線與橢圓相切．
所以平行弦得中點(diǎn)軌跡方程為：y=-
x（-
）．
分析：（1）求出雙曲線的焦點(diǎn)，由此設(shè)出橢圓方程，把點(diǎn)（
，0）代入橢圓方程，求出待定系數(shù)即得所求的橢圓方程．
（2）設(shè)斜率為2的弦所在直線的方程為y=2x+b，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），把y=2x+b 代入橢圓的方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出軌跡方程為y=-
x，求出直線y=2x+b 和橢圓相切時的b值，即得軌跡方程中自變量x
的范圍．
點(diǎn)評：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用；求點(diǎn)的軌跡方程的方法，求軌跡方程中自變量x的范圍，是解題的易錯點(diǎn)．
）
的兩個焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則這個橢圓上存在六個不同的點(diǎn)M，使得△F1MF2為直角三角形；
的一個焦點(diǎn)作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|=a；
相交于A、B兩點(diǎn)．
上的任意兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，若直線AB、OM的斜率都存在，并記為kAB，kOM，則kAB?kOM為定值．試對雙曲線
寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．