Question

二次函數(shù)f（x）有f（0）=-3，f（1）=-4，f（3）=0
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知方程|f（x）|=m的解有2個，求m的取值集合；
（3）求不等式

f(x)

f(x)-5

≤0的解集．

Answer 1

分析：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，根據(jù)題意建立關(guān)于a、b、c的方程級并解之得f（x）的解析式為f（x）=x²-2x-3；
（2）同一坐標(biāo)系里作出y=|x²-2x-3|的圖象與直線y═m，如圖所示，討論f（x）的取值可得方程|f（x）|=m的解有2個時，m的取值集合為{m|m=0或m＞4}；
（3）原不等式等價于0≤f（x）＜5，結(jié)合（2）的f（x）圖象，解一元二次不等式，即得原不等式的解集為（-2，4）．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，得

f(0)=c=-3 f(1)=a+b+c=-4 f(3)=9a+3b+c=0

，解之得

a=1 b=-2 c=-3

，
∴f（x）的解析式為f（x）=x²-2x-3；
（2）方程|f（x）|=m即|x²-2x-3|=m，
當(dāng)x∈[-1，3]時，y=|x²-2x-3|=-x²+2x+3，圖象為開口向下的拋物線弧，
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）時，y=|x²-2x-3|=x²-2x-3，
圖象為開口向上的拋物線弧，
因此，作出y=|x²-2x-3|的圖象與直線y═m，如圖所示
求得A（1，4），可得當(dāng)m＞4或m=0時，兩個圖象恰好有兩個不同的交點，
∴方程|f（x）|=m的解有2個時，m的取值集合為{m|m=0或m＞4}
（3）不等式

f(x)

f(x)-5

≤0可化為0≤f（x）＜5
由（2）中作出的圖象，可得
當(dāng)x∈[-1，3]時，f（x）=-x²+2x+3的最大值為4，最小值為0，滿足條件；
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（3，+∞），f（x）=x²-2x-3＜5，解之得-2＜x＜-1或3＜x＜4
綜上所述，不等式

f(x)

f(x)-5

≤0的解集為（-2，4）

點評：本題用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，并討論方程和不等式的解，著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次不等式的解法和函數(shù)與方程等知識，屬于基礎(chǔ)題．