Question

5．已知拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l，若l與圓x²+y²+6x+5=0的交點(diǎn)為A，B，且|AB|=2$\sqrt{3}$．則p的值為4或8．

Answer 1

分析 求得圓心及半徑，分類討論，由A（-$\frac{p}{2}$，$\sqrt{3}$），則丨AH丨=$\sqrt{3}$，丨AE丨=2，則丨EH丨=1，由丨EH丨+$\frac{p}{2}$=丨OE丨或丨OE丨+丨EH丨=$\frac{p}{2}$，即可求得p的值．

解答 解：拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線x=-$\frac{p}{2}$，準(zhǔn)線與x軸相交于H，
圓x²+y²+6x+5=0的標(biāo)準(zhǔn)方程（x+3）²+y²=4，則圓心E（-3，0），半徑為2，
假設(shè)拋物線的準(zhǔn)線在圓心的左側(cè)，
由丨AB丨=2$\sqrt{3}$，則A（-$\frac{p}{2}$，$\sqrt{3}$），則丨AH丨=$\sqrt{3}$，丨AE丨=2
丨EH丨=1，則丨EH丨+$\frac{p}{2}$=丨OE丨，即1+$\frac{p}{2}$=3，則p=4，
設(shè)拋物線的準(zhǔn)線在圓心的右側(cè)，由丨AB丨=2$\sqrt{3}$，則A（-$\frac{p}{2}$，$\sqrt{3}$），則丨AH丨=$\sqrt{3}$，丨AE丨=2
則丨OE丨+丨EH丨=$\frac{p}{2}$，即3+1=$\frac{p}{2}$，則p=8，
∴p的值為4或8．
故答案為：4或8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查分類討論及數(shù)形結(jié)合思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．