Question

（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象總在的圖象的上方，求的取值范圍．

Answer 1

（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，先將代入，利用導(dǎo)數(shù)除法的運(yùn)算法則計(jì)算，令解出函數(shù)的增區(qū)間，令解出函數(shù)的減區(qū)間；第二問，先寫出解析式，由于函數(shù)的圖象總在的圖象的上方，所以，轉(zhuǎn)化為在恒成立，繼續(xù)轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出的最小值，最后解出a的取值范圍.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，.

∵，得，解得或；

∵，得，解得.

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）∵.

又∵函數(shù)的圖象總在的圖象的上方，

∴，即在恒成立.

又∵，∴，∴.

又∵，∴.

設(shè)，則即可.

∵.

∵，，解得；

∵，，解得.

∴在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.

∴的最小值為或.

∵，，作差可知，

∴.

∴a的取值范圍是.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題.