Question

16．如圖1，△ACB為等腰直角三角形，AC=BC，AC⊥BC，點E、F分別在BC上，且CE=BF，CM⊥AE，AE與MF的延長線相交于N點
（1）求證：∠BMF=∠AMC
（2）如圖2，若CM為AN的垂直平分線，MF與AE的延長線交于N點，求證：BM+CM=MN．
（3）若AC=2+$\sqrt{3}$，在（2）的條件下．求EF的長．

Answer 1

分析 （1）過B做BD⊥CM，交CM的延長線于點D，證明△BMF≌△BMD，即可證明：∠BMF=∠AMC
（2）過C作CO⊥AB，垂足為O．設AC=a，則AO=CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，AB=$\sqrt{2}$a，求出MB=AB-AO-MO=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{6}$）a，MN=MA=AB-MB=AO+MO=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{6}$）a，即可證明結論；
（3）利用△AMC∽△BMD，即可得出結論．

解答 （1）證明：過B做BD⊥CM，交CM的延長線于點D，
∵CM⊥AN，AC⊥BC，
∴∠CAE=∠DCB．
∵BC=AC，∠CBD=∠AEC=90°，
∴△CAE≌△BCD，
∴BD=CE，
∴BD=BF，
∵AC⊥BC，AC=BC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD=90°-45°=∠ABC，
∵BM=BM，
∴△BMF≌△BMD，
∴∠BMF=∠BMD=∠AMC；
（2）證明：過C作CO⊥AB，垂足為O．
設AC=a，則AO=CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，AB=$\sqrt{2}$a，
∵CM為AN的垂直平分線，
∴MA=MN，∴∠AMC=∠NMC，
∵∠AMC=∠BMN，
∴∠AMC=∠BMN=∠NMC=60°，
∴MO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CO=$\frac{\sqrt{6}}{6}$a，MC=2MO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴MB=AB-AO-MO=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{6}$）a，
MN=MA=AB-MB=AO+MO=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{6}$）a，
∴MN=MB+MC=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{6}$）a．
（3）解：∵△AMC∽△BMD，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{MB}{MA}$=2-$\sqrt{3}$，
∴BD=（2-$\sqrt{3}$）a=1，
∴CE=BF=BD=1，
∴EF=BC-CE-BF=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角形全等的證明，性質的運用，考查三角形相似的判定與性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．