Question

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，過點的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線相交于兩點．

（Ⅰ）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（Ⅱ）若，求的值

Answer 1

 解：(1) 由ρsin2θ=2acosθ(a>0)得ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0)

∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=2ax(a>0)………………………2分

直線l的普通方程為y=x-2…………………………………4分

(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程y2=2ax中，

得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0

設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2

則有t1+t2=2(4+a), t1t2=8(4+a)……………………………6分

∵|PA|×|PB|=|AB|2,∴t1t2=(t1-t2)2, 即(t1+t2)2=5t1t2……………8分

∴[2(4+a)]2=40(4+a)，即a2+3a-4=0

解之得：a=1或a=-4(舍去)，∴a的值為1…………………10分