Question

6．在平面直角坐標系中，矩陣M對應的變換將平面上任意一點P（x，y）變換為點P（2x+y，3x）．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（Ⅱ）求曲線4x+y-1=0在矩陣M的變換作用后得到的曲線C′的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設點P（x，y）在矩陣M對應的變換作用下所得的點為P′（x′，y′），通過$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x+y}\\{y′=3x}\end{array}\right.$可得M=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{3}&{0}\end{array}]$，進而可得結論；
（Ⅱ）設點A（x，y）在矩陣M對應的變換作用下所得的點為A′（x′，y′），通過$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=M^-1$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}y′}\\{y=-x′-\frac{2}{3}y′}\end{array}\right.$，代入曲線4x+y-1=0，計算即可．

解答 解：（Ⅰ）設點P（x，y）在矩陣M對應的變換作用下所得的點為P′（x′，y′），
則$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x+y}\\{y′=3x}\end{array}\right.$即$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{3}&{0}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，
∴M=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{3}&{0}\end{array}]$．
又det（M）=-3，
∴M^-1=$[\begin{array}{l}{0}&{-\frac{1}{3}}\\{-1}&{-\frac{2}{3}}\end{array}]$；
（Ⅱ）設點A（x，y）在矩陣M對應的變換作用下所得的點為A′（x′，y′），
則$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=M^-1$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}&{-\frac{1}{3}}\\{-1}&{-\frac{2}{3}}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}y′}\\{y=-x′-\frac{2}{3}y′}\end{array}\right.$，
∴代入4x+y-1=0，得$4（-\frac{y′}{3}）-x′-\frac{2}{3}y′-1=0$，
即變換后的曲線方程為x+2y+1=0．

點評 本題主要考查矩陣與變換等基礎知識，考查運算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．