Question

如圖：在三棱錐D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E為BC的中點，F(xiàn)在棱AC上，且

（1）求三棱錐D－ABC的表面積；

（2）求證AC⊥平面DEF；

（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不存在，試說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）先證EF⊥AC，再證DE⊥AC，即可證AC⊥平面DEF

（3）存在這樣的點N，當CN＝時，MN∥平面DEF．

【解析】

試題分析：

解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC= a．設G為CD的中點，則CG= a，AG=a．∴S_△ABC=S_△ABD=a²，S_△BCD=a²，S_△ACD=a²．三棱錐D-ABC的表面積為S_△ACD=

（2）取AC的中點H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F為CH的中點．∵E為BC的中點，∴EF∥BH．則EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．

（3）存在這樣的點N，當CN=CA時，MN∥平面DEF．連CM，設CM∩DE=O，連OF．由條件知，O為△BCD的重心，CO=CM．∴當CF=CN時，MN∥OF．∴CN=?CA=CA．

考點：棱錐的結構特征

點評：本題考查棱錐的結構特征，證明線面垂直，線面平行，考查邏輯思維能力，是中檔題．