Question

如圖，曲線C₁是以原點O為中心，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓的一部分．曲線C₂是以O為頂點，F(xiàn)₂為焦點的拋物線的一部分，A是曲線C₁和C₂的交點且∠AF₂F₁為鈍角，若|AF₁|=，|AF₂|=．
（I）求曲線C₁和C₂的方程；
（II）設點C是C₂上一點，若|CF₁|=|CF₂|，求△CF₁F₂的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）設曲線C₁的方程為，則根據(jù)|AF₁|=，|AF₂|=，可得a=3，設A（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則（x+c）²+y²=，（x-c）²+y²=，由此可求曲線C₁和C₂的方程；
（II）過點F₁作直線l垂直于x軸，過點C作直線CC₁⊥l于點C₁，依題意知l為拋物線C2的準線，則|CC₁|=|CF₂|，在△CF₁F₂中，設|CF₂|=r，則|CF₁|=r，|F₁F₂|=2，由余弦定理可得r=2，再利用三角形的面積公式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（I）設曲線C₁的方程為，則2a=|AF1|+|AF2|=得a=3
設A（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則（x+c）²+y²=，（x-c）²+y²=
兩式相減可得：xc=
由拋物線定義可知|AF₂|=x+c=
∴c=1，x=或x=1，c=（舍去）
所以曲線C₁的方程為，C₂的方程為y²=4x（0≤x≤）；
（II）過點F₁作直線l垂直于x軸，過點C作直線CC₁⊥l于點C₁，依題意知l為拋物線C₂的準線，則|CC₁|=|CF₂|
在直角△CC₁F₁中，|CF₁|=|CC₁|，∠C₁CF₁=45°
∵∠CF₁F₂=∠C₁CF₁=45°
在△CF₁F₂中，設|CF₂|=r，則|CF₁|=r，|F₁F₂|=2
由余弦定理可得2²+2r²-2×2×rcos45°=r²，
∴r=2
∴S_△CF1F2=
點評：本題考查了橢圓，拋物線方程的求法，考查三角形面積的計算，求得方程是關鍵．