Question

已（12分）知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，離心率為，一個焦點是F（0，1）．

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）直線過點F交橢圓于A、B兩點，且，求直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ）．

【解析】

試題分析： （1）根據(jù)已知中的條件得到離心率和a的關(guān)系式，進而得到橢圓的方程。

（2）對于直線斜率是否存在要給予討論，并聯(lián)立方程組的思想，結(jié)合韋達定理和向量關(guān)系式得到k的方程，求解得到k的值。

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為（>b>0）．

依題意，, c=1，，，………………………………2分

∴所求橢圓方程為 ．………4分

（Ⅱ）若直線的斜率k不存在，則不滿足．

當(dāng)直線的斜率k存在時，設(shè)直線的方程為．因為直線過橢圓的焦點F（0，1），所以取任何實數(shù), 直線與橢圓均有兩個交點A、B．

設(shè)A 

聯(lián)立方程   消去y，

得．…………6分

，      ①

，                  ②

由F（0，1），A，

則，

，∴，

得．……………………8分

將代入①、②，

得， ③

， ④……………10分

由③、④ 得，，

化簡得，解得，.∴直線的方程為：．12分

考點：本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。

點評：解決該試題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)，根據(jù)其性質(zhì)得到參數(shù)a,b的值，進而得到其方程。同時聯(lián)立方程組，結(jié)合向量的關(guān)系式和韋達定理得到從那數(shù)k的值。