Question

【題目】已知函數(shù)（），.

（1）若的圖象在處的切線恰好也是圖象的切線.

①求實(shí)數(shù)的值；

②若方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（2）當(dāng)時，求證：對于區(qū)間上的任意兩個不相等的實(shí)數(shù)， ，都有成立.

Answer 1

【答案】（1）①, ；（2）詳見解析

【解析】試題分析：（1）①首先求函數(shù)的圖象在處的切線， ， ，又因?yàn)榍悬c(diǎn)為，所以切線方程為，于是問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象相切，于是可以根據(jù)直線與拋物線相切進(jìn)行解題；②問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，參變量分離得，設(shè)， ，研究的單調(diào)性、極值，轉(zhuǎn)化為直線與有且只有一個交點(diǎn)，（2）當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞增，設(shè)，則， ，于是問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)在上單調(diào)遞減，可以求出的取值范圍.

試題解析：①，∴， ，切點(diǎn)為，

∴切線方程為，即，

聯(lián)立，消去，可得， ，

∴；

②由，得，

設(shè)， ，則問題等價于與的圖象在上有唯一交點(diǎn)，

∵，∴， ，函數(shù)單調(diào)遞增， ， ，函數(shù)單調(diào)遞減，

∵， ，且時， ，

∴；

證明：（2）不妨設(shè)，則， ，

∴可化為

∴

設(shè)，即，∴在上單調(diào)遞減，

∴恒成立，即在上恒成立，

∵，∴，

從而，當(dāng)時，命題成立.