Question

10．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是${a}_{n}={2}^{n}-1$．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），即$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}=2$，
∵a₁+1=2，∴{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}+1=2×{2}^{n-1}={2}^{n}$，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$．
故答案為：${a}_{n}={2}^{n}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本查題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列、構(gòu)造法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．