Question

已知：．
（I）若f′（1）=2，求a的值；
（Ⅱ）已知a＞e-1，若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點x₀，使得f（x₀）＜ag（x₀）成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設函數g（x）的圖象C₁與函數+bx的圖象C₂交于點A、B，過線段A、B的中點M作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點P、Q，問是否存在點M使C₁在P處的切線與C₂在Q處的切線平行？若存在，求出M的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）求導函數，可得f′（x）=1-
∴f′（1）=1-（a+1）=2，
∴a=-2；
（Ⅱ）設F（x）=f（x）-ag（x）=x+-alnx（x＞0），則若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點x₀，使得f（x₀）＜ag（x₀）成立，等價于x∈[1，e]，F_min（x）＜0
求導函數可得F′（x）=
令F′（x）=0得x=a+1或x=-1（舍去）
∵a＞e-1，∴x=a+1＞e
∵x∈（0，a+1），F′（x）＜0，函數遞減
∴F（x）在[1，e]上單調遞減
∴F_min（x）=F（e）=e+
∴
∵a＞e-1，，∴
∴a的取值范圍為；
（Ⅲ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂，則P，Q的橫坐標均為x=
C₁在P處的切線斜率為k₁==；C₂在Q處的切線斜率為k₂=x+b=+b
假設C₁在P處的切線與C₂在Q處的切線平行，則k₁=k₂，即=+b
∴=+b（x₂-x₁）=lnx₂-lnx₁，
∴l(xiāng)n==
設，在lnu=（u＞1）①
設h（u）=lnu-（u＞1），則h′（u）=
∵u＞1，∴h′（u）＞0
∴h（u）在[1，+∞）上單調遞增，故h（u）＞h（1）=0
∴l(xiāng)nu＞
這與①矛盾，假設不成立
∴C₁在P處的切線與C₂在Q處的切線不平行．
分析：（I）求導函數，利用f′（1）=2，可求a的值；
（Ⅱ）設F（x）=f（x）-ag（x）=x+-alnx（x＞0），則若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點x₀，使得f（x₀）＜ag（x₀）成立，等價于x∈[1，e]，F_min（x）＜0，由此可求a的取值范圍；
（Ⅲ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂，則P，Q的橫坐標均為x=，確定C₁在P處的切線斜率為k₁==；C₂在Q處的切線斜率為k₂=x+b=+b，假設C₁在P處的切線與C₂在Q處的切線平行，則k₁=k₂，由此可引出矛盾，故得解．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查學生分析解決問題的能力，難度大．