Question

在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知a=1，平面向量

m

=（sin（π-C），cosC），

n

=（sin（B+

π

2

），sinB），且

m

•

n

=sin2A．
（Ⅰ）求△ABC外接圓的面積；
（Ⅱ）已知O為△ABC的外心，由O向邊BC、CA、AB引垂線，垂足分別為D、E、F，求

| OD |

cosA

+

| OE |

cosB

+

| OF |

cosC

的值．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數量積的運算

專題：三角函數的求值,解三角形,直線與圓

分析：（Ⅰ）利用向量的數量積，和已知等式化簡整理可求得cosA的值，進而求得sinA的值，利用正弦定理求得外接圓的半徑，通過圓的面積公式求得答案．
（Ⅱ）分別延長CO交圓于G點，圓內同弦對的∠A和∠G的角相同，進而根據OD∥BG，推斷出∠G=∠DOC，進而推斷∠BOD=∠A，在RT△BOD中表示出

OD

OB

=cos∠BOE，進而求得

| OD |

cosA

，同理求得

| OE |

cosB

，

| OF |

cosC

，最后相加即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

•

n

=sin（π-C）•sin（B+

π

2

）+cosC•sinB=sinCcosB+sinBcosC=sin2A．
∴2sinAcosA=sin（B+C）=sinA，
∵0＜A＜π，
∴sinA≠0，
∴2cosA=1，即cosA=

1

2

，
∴sinA=

1-cos2A

=

3

2

∵2R=

a

sinA

=

2

3

，
∴R=

3

3

，S=πR²=

π

3

．
（Ⅱ）∵O為△ABC的外心，由O向邊BC、CA、AB引垂線，垂足分別為D、E、F，
延長CO交圓于G點，
∵CG為圓的直徑，
∴∠CBG=90°，
OD⊥BC，
∴OD∥BG，
∴∠G=∠DOC，
∵∠A=∠G，∠DOC=∠BOD，
∴∠BOD=∠A，
∵

OD

OB

=cos∠BOE，
∴cosA=

OD

OB

，
∴

| OD |

cosA

=R，
同理可知

| OE |

cosB

=R，

| OF |

cosC

=R，
∴

| OD |

cosA

+

| OE |

cosB

+

| OF |

cosC

=3R=3×

3

3

=

3

．

點評：本題主要考查了正弦定理的應用，三角形外接圓的相關問題．考查了學生基礎知識的綜合運用．