Question

二次函數(shù)f(x)=ax²+bx(a≠0)滿足條件：

①對(duì)任意x∈R，均有f(x-4)=f(2-x)；

②函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x相切.

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)當(dāng)且僅當(dāng)x∈[4，m](m＞4)時(shí)，f(x-t)≤x恒成立，試求t、m的值.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵f(x-4)=f(2-x),∴b=2a

∵函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x相切,∴方程組有且只有一解；

即ax²+(b-1)x=0有兩個(gè)相同的實(shí)根,∴b=1,a=.

∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x²+x.  (其他做法相應(yīng)給分)

(Ⅱ)∵當(dāng)且僅當(dāng)x∈[4,m](m＞4)時(shí),f(x-t)≤x恒成立,

∴不等式f(x-t)≤x的解集為[4,m](m＞4).即(x-t)²+(x-t)≤x的解集為[4,m].

∴方程(x-t)²+(x-t)=x的兩根為4和m,即方程x²-2tx+t²-2t=0的兩根為4和m.

∴(m＞4),解得t=8,m=l2,

∴t和m的值分別為8和12.