Question

1．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，直線l：y=x+m，且直線l與橢圓交于A、B兩不同點．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m=2，求弦AB長．

Answer 1

分析 （1）通過直線l與橢圓交于A、B兩不同點可知聯(lián)立橢圓與直線方程后的一元二次方程中的根的判別式大于零，進而計算可得結(jié)論；
（2）通過m=2代入直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，消去y后利用韋達定理可知x_A+x_B=-$\frac{16}{7}$、x_Ax_B=-$\frac{32}{7}$，進而利用兩點間距離公式計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，直線l：y=x+m，
∴橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{（x+m）^{2}}{12}$=1，
化簡得：7x²+8mx+4m²-48=0，
∵直線l與橢圓交于A、B兩不同點，
∴△=64m²-7×16×（m²-12）＞0，
解得：-$2\sqrt{7}$＜m＜$2\sqrt{7}$；
（2）若m=2，聯(lián)立直線l與橢圓方程，
化簡得：7x²+16x-32=0，
∴x_A+x_B=-$\frac{16}{7}$，x_Ax_B=-$\frac{32}{7}$，
∴弦AB長為$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+（{y}_{A}-{y}_{B}）^{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{16}{7}）^{2}-4×（-\frac{32}{7}）}$
=$\frac{48}{7}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．