Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²+2x+a．若g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$，對任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f（x₁）≤g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，$\frac{\sqrt{e}}{e}$-8]
• B． [$\frac{\sqrt{e}}{e}$-8，+∞）
• C． [$\sqrt{2}$，e）
• D． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{e}{2}$]

Answer 1

分析 對任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f（x₁）≤g（x₂）成立，則[f（x）]_max≤[g（x）]_max，進而得到答案．

解答 解：對任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f（x₁）≤g（x₂）成立，則[f'（x）]_max≤[g（x）]_max
f（x）=（x+1）²+a-1在[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（2）=8+a，
g（x）在∈[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞減，則g（x）max=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{\sqrt{e}}$．
∴8+a≤$\frac{1}{\sqrt{e}}$則a≤$\frac{\sqrt{e}}{e}-8$．
故選：A

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的最值，難度中檔．