Question

設(shè)二次方程，n∈N₊有兩根α和β，且滿足6α-2αβ+6β=3，a₁=1
（1）試用a_n表示a_n+1；
（2）證明是等比數(shù)列；
（3）設(shè)，n∈N₊，T_n為{c_n}的前n項(xiàng)和，證明T_n＜2，（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知6α-2αβ+6β=3，故即6•-2=3，由此能用a_n表示a_n+1．
（2）由，n∈N₊．知a_n+1-=+=，由此能夠證明是等比數(shù)列．
（3）由是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，知=，推出c_n，由此利用錯(cuò)位相減法能夠證明T_n＜2．
解答：解：（1）∵二次方程，n∈N₊有兩根α和β，
且滿足6α-2αβ+6β=3，a₁=1，
∴6α-2αβ+6β=3，
即6•-2=3，
∴，n∈N₊．
（2）∵，n∈N₊．
∴a_n+1-=+=，
且=，
∴是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．
（3）∵是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
∴=，c_n=n•，
∴+…+（n-1）•]，
+…+（n-1）•+n•，
兩式相減，得
=-n•（）ⁿ
T_n=--n•，
整理，得T_n＜2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思想的要求較高，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．