Question

（20）

    如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

Answer 1

本小題主要考察長(zhǎng)方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，以及空間想象能力和推理運(yùn)算能力。

解法一：

（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)

∵分別為的中點(diǎn)

∵

∴面，面

∴面面

∴面

（Ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn)

∵為的中點(diǎn)  

∴

∴面

作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得

從而為二面角的平面角。

在中，，從而

在中，tan∠PHF＝

故：二面角的大小為

解法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，則

∵分別是的中點(diǎn)

∴

（Ⅰ）

取n=(0，1，0)，顯然n面

·n＝0，∴n

又面

∴面

∴過(guò)作，交于，取的中點(diǎn)，則

設(shè)，則

又

由，及在直線上，可得:

解得

∴

∴   即

∴與所夾的角等于二面角的大小

故：二面角的大小為